Нахождение случайной последовательности так же легко как пи – или является им? Математики часто зависят от иррациональных чисел как, e (основание естественных логарифмов), и 2, чтобы дать им непредсказуемый поток цифр. Но газета в сегодняшних Продолжениях Национальной академии наук опрокидывает общепринятое мнение о хаотичности путем показа, что некоторые из этих чисел намного более предсказуемы, чем ожидаемый. Это могло поднять тревогу в областях, зависящих от случайных чисел, таких как криптография и дизайн определенных экспериментов.
Открытие прибывает из нового метода для определения количества хаотичности. Любой математик может сказать Вам, который 01101100 более случаен, чем 01010101, но до прошлого года ни один не мог сказать Вам сколько еще случайный. Тогда два исследователя – Стив Пинкус, внештатный математик, базируемый в Гилфорде, Коннектикут, и Бертон Сингер, математик и демограф в Принстонском университете – создали метод для определения «энтропии» последовательности или беспорядка.
Pincus и метод Певца основываются на наблюдении, что все возможные цифры представлены об одинаково в совершенно случайном потоке цифр. Двоичные последовательности 01101100 и 01010101 – каждый с четыре 1’s и четыре О – оба проходят этот тест, например. Pincus и Singer также отметили, что, когда цифры взяты два за один раз, случайная последовательность должна иметь равные количества всех возможных пар: 00, 01, 10, и 11, в этом случае. Последовательность 01010101 не проходит этот тест несчастно; нет никаких 00-х или 11 вообще.
То же рассуждение может быть расширено на более многочисленные группы цифр, беря их три за один раз, четыре за один раз, и т.д. Путем сравнения фактической частоты групп цифр к их ожидаемой частоте Pincus и Singer придумывают «приблизительную энтропию» (ApEn) последовательности – мера ее хаотичности.
«[ApEn] является одним из тех инструментов, заставляющим Вас сказать, ‘Эй, это – хорошее!’ и Вы помещаете его в свой набор инструментов», говорит Макс Вудбери, математик в Университете Дюка. Но это – инструмент, поднимающий больше вопросов, чем это отвечает, поскольку бумага Продолжений показывает. В нем, Пинкус и Рудольф Кальман, математик в швейцарском федеральном Технологическом институте в Цюрихе, Швейцария, вычислил ApEn различных иррациональных чисел. Они включали оба алгебраических числа, которые являются растворами полиномиалов с конечными числами условий – 3, например – и «необыкновенных» чисел как и e, которые не являются алгебраическими.
Трансцендентные числа, в некотором смысле, более сложны, чем алгебраические числа, таким образом, Пинкус ожидал, что, когда они выписаны в десятичной форме, их канатно-веревочные отходы цифр были бы более случайными. Он был неправ.«является самым нерегулярным», говорит Пинкус. «Но я был очень удивлен, что e затем не был в гармонии». Фактически, 2, алгебраическое число, было более случайным, чем e, трансцендентное число.
Математики царапают головы по этому. Говорит Певец, «Это поднимает серьезные концептуальные проблемы об идее хаотичности».