Как разведчики, математики, изучающие простые числа, хотели бы знать, как эти необычные числа рассеяны через руду других целых чисел. Теперь у них есть новый инструмент разведки. Исследователи сообщают в газете для появления в Летописи Математики, что они развили сильное новое «решето» для оценки изобилия начал в редких последовательностях целых чисел, которые были трудными или невозможными оценить до сих пор.
Для нахождения этих заветных чисел Джон Фридлендер из университета Торонто и Хенрик Иуоник из Университета Ратджерса в Нью-Джерси очистили инструмент, известный как асимптотическое решето, развитое в 1970-х Энрико Бомбьери из Института Специального исследования в Принстоне. Примерно говоря, математическое решето определяет изобилие начал в длинном списке чисел путем оценки, сколько чисел остается, когда сеть магазинов маленьких начал удалена – процедура, просеивающая большинство сложных чисел.
Но ошибки могут вползти в процедуру. Ошибки являются самыми легкими оценить для «плотных» последовательностей такой как 1, 5, 9, 13 – прогрессия, содержащая примерно одну четверть всех чисел до данного размера.Фридлендер и Иуоник, однако, намереваются анализировать последовательность, состоящую из чисел формы a2 + b4, который содержит крошечную часть целых чисел до какого-то конкретного числа.
Эта «тонкость» помещает последовательность и других как она, вне досягаемости предыдущих методов решета. Но с их новым решетом, эти два математика доказали, что последовательность включает бесконечно много начал. «Никто не мечтал, что Вы могли проанализировать такие последовательности», говорит Бомбьери.Решето полагается на специальные алгебраические свойства формулы a2 + b4.
В системе числа, известной как Гауссовские целые числа, который увеличивает обычные целые числа включением i, квадратный корень-1, такие суммы могут всегда учитываться как (+ b2i) (-b2i). Путем помещения чисел в их последовательность в эту форму Фридлендер и Иуоник нашли, что они имели намного больше контроля над ошибками, когда они применили свое решето.
Поскольку метод полагается на свойства, найденные в только небольшой части последовательностей, это не решит многие самые дорогие проблемы теории решета – доказательство, например, что каждый интервал между последовательными квадратами содержит по крайней мере один главный. «Ответ на большинство этих вопросов, мы не знаем», говорит Эндрю Грэнвиль, теоретик числа в Университете Джорджии.